微积分学示例

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 2})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x + 2}$ 重写成 ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{5} (x)$ 且 $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\log_{5} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 x + 2$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x + 2$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 3.3

使用 $5 x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ 。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 13.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 14.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 15

化简。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

解题步骤 16

根据加法法则， $5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 17

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 19

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 20

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + 0)$

解题步骤 21

合并分数。

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解题步骤 21.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \cdot 5$

解题步骤 21.2

组合 $\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$

解题步骤 22

化简。

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解题步骤 22.1

运用分配律。

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 2) \ln (5)}$

解题步骤 22.2

运用分配律。

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

解题步骤 22.3

合并项。

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解题步骤 22.3.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

解题步骤 22.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 4 \ln (5)}$

微积分学 示例

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