微积分学示例

$y = \frac{\ln (x)}{4 x + 7}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 7$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + 0)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 4}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{4 x \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3

重写表达式。

$\frac{4 + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{4 + \frac{7}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (x)$ 。

$\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

合并。

$\frac{x (4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{x \cdot 4 + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.3.5

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4 x + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{- x \ln (x^{4}) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 $- x \ln (x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x^{4})) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.7

从 $- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将 $7$ 重写为 $- 1 (- 7)$ 。

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.9

从 $- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将 $- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ 重写为 $- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ 。

$\frac{- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \ln (x^{4}) - 4 x - 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

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