微积分学示例

$y = \arctan ({(3 x)}^{2})$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{2})]$

解题步骤 1.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.1

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{2} x^{2})]$

解题步骤 1.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\arctan (9 x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 9 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $9 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(9 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{1 + {(9 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

对 $9 (x^{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + 9^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + 81 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + 81 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

组合 $9$ 和 $\frac{1}{1 + 81 x^{4}}$ 。

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} (2 x)$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

组合 $2$ 和 $\frac{9}{1 + 81 x^{4}}$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{1 + 81 x^{4}} x$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}} x$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{18}{1 + 81 x^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{18 x}{1 + 81 x^{4}}$

解题步骤 3.6.4

重新排序项。

$\frac{18 x}{81 x^{4} + 1}$

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