微积分学示例

$y = e^{x^{5}} \ln (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x^{5}}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x^{5}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

解题步骤 3

组合 $e^{x^{5}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{5}$ 。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{e^{x^{5}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{5}} (5 x^{4}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序项。

$5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

解题步骤 6.2

将 $5 e^{x^{5}} x^{4} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$ 中的因式重新排序。

$5 x^{4} e^{x^{5}} \ln (x) + \frac{e^{x^{5}}}{x}$

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