微积分学示例

$y = \ln (\frac{3}{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{3}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{3}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{x}$ 。

$1 \frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 3

将 $\frac{x}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

解题步骤 4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

组合 $3$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x (- x^{- 2})$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (x^{1} x^{- 2})$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{1 - 2}$

解题步骤 9

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- x^{- 1}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x}$

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