微积分学示例

$y = \ln (\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}$ 重写成 ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

解题步骤 9

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.4

化简表达式。

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解题步骤 10.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.8

合并分数。

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解题步骤 10.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}})$

解题步骤 10.8.3

将 $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 10.8.4

将 $3$ 移到 ${(x + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 11.2

对 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 11.3

对 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.4

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5

合并项。

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解题步骤 11.5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5.4

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{0 + 1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 11.5.7

将 $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.8

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{2}$ 乘以 ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.5.9.1

移动 ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 1)}^{2}) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9.5

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9.6

化简分子。

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解题步骤 11.5.9.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.9.6.2

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 11.5.10

将 $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 11.5.11

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.5.11.1

移动 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.11.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.11.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.12

化简 ${(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.13

将 $2$ 移到 ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.14

将 $3$ 移到 $x - 1$ 的左侧。

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 11.5.15

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.5.16

化简分母。

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解题步骤 11.5.16.1

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 11.5.16.1.1

移动 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2}{3 (x - 1) ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 11.5.16.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

解题步骤 11.5.16.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{3}}}$

解题步骤 11.5.16.1.4

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 11.5.16.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 11.5.16.2

化简 $3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}$ 。

$\frac{2}{3 (x - 1) (x + 1)}$

解题步骤 11.6

重新排序项。

$\frac{2}{3 (x + 1) (x - 1)}$

微积分学 示例

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