微积分学示例

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{x + 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{x + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{x + 1}$ 。

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

解题步骤 3

将 $\frac{x + 1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

化简项。

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解题步骤 5.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.5

将 $\frac{x + 1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.6

约去 $x + 1$ 和 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.6.1

乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.6.2.1

从 $x {(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

解题步骤 5.6.6.2.2

约去公因数。

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

解题步骤 5.6.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x (x + 1)}$

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