微积分学示例

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - x e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 - x e^{- x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 - x e^{- x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - x e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 相加。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

解题步骤 5.5

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

解题步骤 6.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

解题步骤 6.3

重新排序 $\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ 的因式。

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

解题步骤 6.4

将 $x e^{- x} - e^{- x}$ 乘以 $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ 。

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

解题步骤 6.5

从 $x e^{- x} - e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

解题步骤 6.5.2

从 $- e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

解题步骤 6.5.3

从 $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$

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