微积分学示例

$y = \ln (\tan (3 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (3 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\tan (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

解题步骤 2

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

解题步骤 4

将 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 转换成 $\cot (3 x)$ 。

$\cot (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\cot (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 5.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\cot (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 5.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cot (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3$

解题步骤 6.3.2

将 $3$ 移到 $\cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ 的左侧。

$3 \cdot (\cot (3 x) \sec^{2} (3 x))$

解题步骤 6.3.3

重新排序 $3 \cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ 的因式。

$3 \sec^{2} (3 x) \cot (3 x)$

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