微积分学示例

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.10

组合 $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{\sin (x)}$ 重写成 ${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \cos (x)$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (x)$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

分离分数。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ 转换成 ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{\cos (x)}{3}$ 和 ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

微积分学 示例

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