微积分学示例

$y = 4 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 8 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 8 + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} + 4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} + 4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} + 4 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 5

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 - x^{- 2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $12 x^{2} + 4 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} + 4 x + 6 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$12 x^{2} + 4 x - \frac{1}{x^{2}} + 6$

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