微积分学示例

$\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$ 重写成 ${(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (z) = \frac{z - 5}{z + 5}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{z - 5}{z + 5}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{z - 5}{z + 5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

解题步骤 8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = z - 5$ 且 $g (z) = z + 5$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \frac{d}{d z} [z - 5] - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

根据加法法则， $z - 5$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.3

因为 $- 5$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + 0) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4

化简表达式。

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解题步骤 9.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \cdot 1 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

将 $z + 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.5

根据加法法则， $z + 5$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.7

因为 $5$ 对于 $z$ 是常数，所以 $5$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + 0)}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.8

合并分数。

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解题步骤 9.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \cdot 1}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$

解题步骤 9.8.3

将 $\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.8.4

将 $2$ 移到 ${(z + 5)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 \cdot {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z + 5}{z - 5})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 10.2

对 $\frac{z + 5}{z - 5}$ 运用乘积法则。

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{z + 5 - z - - 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4

合并项。

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解题步骤 10.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{z + 5 - z + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.2

从 $z$ 中减去 $z$ 。

$\frac{0 + 5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.4

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{10}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.5

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.5.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.5.2.1

从 $2 {(z + 5)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(z + 5)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.5.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.6

将 $\frac{5}{{(z + 5)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{5 {(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.7

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(z + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}} {(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8

通过指数相加将 ${(z + 5)}^{2}$ 乘以 ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.4.8.1

移动 ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8.6

化简分子。

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解题步骤 10.4.8.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.4.8.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{3}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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