微积分学示例

$x^{\frac{y}{z}}$

解题步骤 1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = \frac{y}{z}$ 。

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{y}{z}$ 和 $x^{\frac{y}{z} - 1}$ 。

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

解题步骤 2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 乘以 $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

解题步骤 2.3.2

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ 相加。

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{1}{z}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y}{z}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

解题步骤 2.5

合并分数。

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解题步骤 2.5.1

组合 $x^{\frac{y}{z}}$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

解题步骤 2.5.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ 。

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

解题步骤 2.7.2

将 $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$

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