微积分学示例

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = y + z$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y + z$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y + z$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $y + z$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

解题步骤 3.4

因为 $z$ 对于 $y$ 是常数，所以 $z$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{y + z}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

合并项。

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解题步骤 4.1.1

要将 $e^{x y^{2}} (2 x y)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y + z}{y + z}$ 。

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$

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