微积分学示例

$y = x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$

解题步骤 1

根据加法法则， $x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arctan (2 x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.2.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$x (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.6

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.7

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$x (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.10

组合 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 和 $2$ 。

$x \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.11

组合 $x$ 和 $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{x \cdot 2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.12

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.13

将 $\arctan (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.14

要将 $\arctan (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 2.15

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + 4 x^{2}$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $1 + 4 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $1 + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

解题步骤 3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 (2 x)))$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 8 x))$

解题步骤 3.8

将 $0$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (8 x))$

解题步骤 3.9

组合 $8$ 和 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{8}{1 + 4 x^{2}} x)$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{8}{1 + 4 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $\frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{(1 + 4 x^{2}) \cdot 4}$

解题步骤 3.12

将 $4$ 移到 $1 + 4 x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{4 \cdot (1 + 4 x^{2})}$

解题步骤 3.13

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.13.2.1

约去公因数。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

解题步骤 3.13.2.2

重写表达式。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\arctan (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) - 2 x}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 4.2.3

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) + 0}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 4.2.4

将 $\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4

从 $4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)$ 中分解出因数 $\arctan (2 x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

从 $4 x^{2} \arctan (2 x)$ 中分解出因数 $\arctan (2 x)$ 。

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.3

从 $\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\arctan (2 x)$ 。

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 4.5

约去 $4 x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 4.5.2

用 $\arctan (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (2 x)$

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