微积分学示例

$y = x \ln^{2} (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln^{2} (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $2$ 。

$x (\frac{2}{x} \ln (x)) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$x \frac{2 \ln (x)}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.3.2

用 $2 \ln (x)$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \cdot 1$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $\ln^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x)$

解题步骤 4.4.2

重新排序项。

$\ln^{2} (x) + 2 \ln (x)$

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