微积分学示例

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{u}$ 。

$- \frac{1}{2 u} + C$

解题步骤 7

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$

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