微积分学示例

$\frac{- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9}{x^{4} - 3 x^{3}}$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{4} - 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9}{x^{3} x - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9}{x^{3} x + x^{3} \cdot - 3}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $x^{3} x + x^{3} \cdot - 3$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9}{x^{3} (x - 3)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $D$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x^{3}} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x} + \frac{D}{x - 3}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x^{3} (x - 3)$ 。

$\frac{(- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9) (x^{3} (x - 3))}{x^{3} (x - 3)} = \frac{A (x^{3} (x - 3))}{x^{3}} + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.4

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{3} (x - 3))}{x^{3}} + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{3} (x - 3))}{x^{3}} + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9$ 除以 $1$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = \frac{A (x^{3} (x - 3))}{x^{3}} + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.1

约去公因数。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = \frac{A (x^{3} (x - 3))}{x^{3}} + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.1.2

用 $A (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A (x - 3) + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{3} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.4

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.4.1

从 $B (x^{3} (x - 3))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + \frac{x^{2} (B (x (x - 3)))}{x^{2}} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.6.4.2.1

乘以 $1$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + \frac{x^{2} (B (x (x - 3)))}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.4.2.2

约去公因数。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + \frac{x^{2} (B (x (x - 3)))}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.4.2.3

重写表达式。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.4.2.4

用 $B (x (x - 3))$ 除以 $1$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.5

运用分配律。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.7

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.8

运用分配律。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.9

使用乘法的交换性质重写。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{3} (x - 3))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.10

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.10.1

从 $C (x^{3} (x - 3))$ 中分解出因数 $x$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{x (C (x^{2} (x - 3)))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.6.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{x (C (x^{2} (x - 3)))}{x} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.10.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{x (C (x^{2} (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.10.2.3

约去公因数。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{x (C (x^{2} (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.10.2.4

重写表达式。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{1} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.10.2.5

用 $C (x^{2} (x - 3))$ 除以 $1$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} (x - 3)) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.11

运用分配律。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} x + x^{2} \cdot - 3) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.12

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.12.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.12.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} x + x^{2} \cdot - 3) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 3) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.12.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{3} + x^{2} \cdot - 3) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.13

将 $- 3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{3} - 3 \cdot x^{2}) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.14

运用分配律。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{3} + C (- 3 x^{2}) + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.15

使用乘法的交换性质重写。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{3} - 3 C x^{2} + \frac{(D) (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.16

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.16.1

约去公因数。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{3} - 3 C x^{2} + \frac{D (x^{3} (x - 3))}{x - 3}$

解题步骤 1.1.6.16.2

用 $(D) (x^{3})$ 除以 $1$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{3} - 3 C x^{2} + (D) (x^{3})$

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{3} - 3 C x^{2} + D x^{3}$

解题步骤 1.1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.7.1

移动 $B$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{3} - 3 C x^{2} + D x^{3}$

解题步骤 1.1.7.2

移动 $- 3 A$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{3} - 3 C x^{2} + D x^{3} - 3 A$

解题步骤 1.1.7.3

移动 $- 3 x B$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = A x + B x^{2} + C x^{3} - 3 C x^{2} + D x^{3} - 3 x B - 3 A$

解题步骤 1.1.7.4

移动 $A x$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = B x^{2} + C x^{3} - 3 C x^{2} + D x^{3} + A x - 3 x B - 3 A$

解题步骤 1.1.7.5

移动 $- 3 C x^{2}$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - 3 C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

解题步骤 1.1.7.6

移动 $B x^{2}$ 。

$- x^{3} + 17 x^{2} - 12 x - 9 = C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - 3 C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 12 = A - 3 B$

解题步骤 1.2.4

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 9 = - 3 A$

解题步骤 1.2.5

建立方程组以求部分分式的系数。

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$- 9 = - 3 A$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$- 9 = - 3 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $- 9 = - 3 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $- 3 A = - 9$ 。

$- 3 A = - 9$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 3 A = - 9$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $- 3 A = - 9$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

解题步骤 1.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

解题步骤 1.3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 9}{- 3}$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$A = \frac{- 9}{- 3}$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$A = \frac{- 9}{- 3}$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

解题步骤 1.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.2.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 3$ 。

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = A - 3 B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $3$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $3$ 替换 $- 12 = A - 3 B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 12 = (3) - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

去掉圆括号。

$- 12 = 3 - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = 3 - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 12 = 3 - 3 B$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3

在 $- 12 = 3 - 3 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $3 - 3 B = - 12$ 。

$3 - 3 B = - 12$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 3 B = - 12 - 3$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3.2.2

从 $- 12$ 中减去 $3$ 。

$- 3 B = - 15$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$- 3 B = - 15$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 3 B = - 15$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $- 3 B = - 15$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 15}{- 3}$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 15}{- 3}$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$B = \frac{- 15}{- 3}$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$B = \frac{- 15}{- 3}$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

用 $- 15$ 除以 $- 3$ 。

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = B - 3 C$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $5$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $5$ 替换 $17 = B - 3 C$ 中所有出现的 $B$ .

$17 = (5) - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

去掉圆括号。

$17 = 5 - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = 5 - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$17 = 5 - 3 C$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5

在 $17 = 5 - 3 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

将方程重写为 $5 - 3 C = 17$ 。

$5 - 3 C = 17$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 3 C = 17 - 5$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5.2.2

从 $17$ 中减去 $5$ 。

$- 3 C = 12$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$- 3 C = 12$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 3 C = 12$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 1.3.5.3.1

将 $- 3 C = 12$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{12}{- 3}$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{12}{- 3}$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{12}{- 3}$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$C = \frac{12}{- 3}$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$C = \frac{12}{- 3}$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.3.3.1

用 $12$ 除以 $- 3$ 。

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = C + D$

解题步骤 1.3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- 4$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $- 4$ 替换 $- 1 = C + D$ 中所有出现的 $C$ .

$- 1 = (- 4) + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

解题步骤 1.3.6.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

去掉圆括号。

$- 1 = - 4 + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = - 4 + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$- 1 = - 4 + D$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

解题步骤 1.3.7

在 $- 1 = - 4 + D$ 中求解 $D$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

将方程重写为 $- 4 + D = - 1$ 。

$- 4 + D = - 1$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

解题步骤 1.3.7.2

将所有不包含 $D$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.7.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$D = - 1 + 4$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

解题步骤 1.3.7.2.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$D = 3$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$D = 3$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

$D = 3$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 3$

解题步骤 1.3.8

求解方程组。

$D = 3 C = - 4 B = 5 A = 3$

解题步骤 1.3.9

列出所有解。

$D = 3, C = - 4, B = 5, A = 3$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x^{3}} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x} + \frac{D}{x - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的值。

$\frac{3}{x^{3}} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{3}{x - 3}$

解题步骤 1.5

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{3}{x^{3}} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{3}{x^{3}} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int x^{- 3} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 8.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{4}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 11

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - (4 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 12

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - 4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 13

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x - 3} d x$

解题步骤 14

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x - 3} d x$

解题步骤 15

使 $u = x - 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 15.1

设 $u = x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 15.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 15.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 15.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 15.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 15.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 15.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 16

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 3 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 17

化简。

$- \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{5}{x} - 4 \ln (| x |) + 3 \ln (| u |) + C$

解题步骤 18

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{5}{x} - 4 \ln (| x |) + 3 \ln (| x - 3 |) + C$

微积分学 示例

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