微积分学示例

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

解题步骤 1

用 $x^{2}$ 除以 $x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 5$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

解题步骤 6.2

将 $x^{2}$ 和 $5$ 重新排序。

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

解题步骤 7

将 $5$ 重写为 ${\sqrt{5}}^{2}$ 。

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ 。

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 和 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ 。

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 。

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 9.3.2

将负号移到分数的前面。

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$

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