微积分学示例

$\frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序项。

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2

从 $- e^{x} x + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2.2

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.3

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $e^{x} (- x + 1)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

解题步骤 5.3.2.4

用 $e^{- x} (- x + 1)$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} (- x + 1)$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 5.5

使用乘法的交换性质重写。

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 5.6

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

解题步骤 5.7

将 $- e^{- x} x + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

微积分学 示例

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