微积分学示例

$x^{2} y + e^{2 x + y} = 2 x \sqrt{y}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} y + e^{2 x + y} = 2 x y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + e^{2 x + y}) = \frac{d}{d y} (2 x y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} y + e^{2 x + y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x^{2}$ 且 $g (y) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x$ 。

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.5

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d y} [e^{2 x + y}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = 2 x + y$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x + y$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [2 x + y]$

解题步骤 3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [2 x + y]$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $2 x + y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} \frac{d}{d y} [2 x + y]$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3.3

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [x]$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 x' + \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} + 2 y x x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [x y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [x y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$2 (x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.10

组合 $x$ 和 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 (\frac{x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 4.12

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 (\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} x')$

解题步骤 4.13

化简。

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解题步骤 4.13.1

运用分配律。

$2 \frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

解题步骤 4.13.2

合并项。

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解题步骤 4.13.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

解题步骤 4.13.2.2

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 (y^{\frac{1}{2}} x')$

解题步骤 4.13.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + 2 y^{\frac{1}{2}} x'$

解题步骤 4.13.3

重新排序项。

$2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1) = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

化简 $x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x' + 1)$ 。

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解题步骤 6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1

运用分配律。

$x^{2} + 2 x y x' + e^{2 x + y} (2 x') + e^{2 x + y} \cdot 1 = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y} \cdot 1 = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $e^{2 x + y}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y} = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.1.2

将 $x^{2} + 2 x y x' + 2 e^{2 x + y} x' + e^{2 x + y}$ 中的因式重新排序。

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} = 2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $2 y^{\frac{1}{2}} x' + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} = 2 x' y^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $2 x' y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.4

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} + e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = - x^{2}$

解题步骤 6.4.2

从等式两边同时减去 $e^{2 x + y}$ 。

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = - x^{2} - e^{2 x + y}$

解题步骤 6.4.3

在等式两边都加上 $\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.5

从 $2 x y x' + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x'$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $2 x y x'$ 中分解出因数 $2 x'$ 。

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.5.2

从 $2 x' e^{2 x + y}$ 中分解出因数 $2 x'$ 。

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} - 2 x' y^{\frac{1}{2}} = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.5.3

从 $- 2 x' y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x'$ 。

$2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y} + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.5.4

从 $2 x' (x y) + 2 x' e^{2 x + y}$ 中分解出因数 $2 x'$ 。

$2 x' (x y + e^{2 x + y}) + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.5.5

从 $2 x' (x y + e^{2 x + y}) + 2 x' (- 1 y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2 x'$ 。

$2 x' (x y + e^{2 x + y} - 1 y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.6

将 $- 1 y^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $- y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7

将 $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项除以 $2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.7.1

将 $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}) = - x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}$ 中的每一项都除以 $2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2

化简左边。

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解题步骤 6.7.2.1

从 $2 x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y) + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.2.2

从 $2 e^{2 x + y}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y) + 2 (e^{2 x + y}) - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.2.3

从 $2 (x y) + 2 (e^{2 x + y})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y}) - 2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.2.4

从 $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y}) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.2.5

从 $2 (x y + e^{2 x + y}) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}))}{2 (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.2.6

约去公因数。

解题步骤 6.7.2.2.7

重写表达式。

$\frac{x' (x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}})}{x y + e^{2 x + y} - y^{\frac{1}{2}}} = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.2.3

约去公因数。

解题步骤 6.7.2.4

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y + 2 e^{2 x + y} - 2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.3

化简右边。

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解题步骤 6.7.3.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- x^{2} - e^{2 x + y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.2

要将 $- e^{2 x + y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x' = \frac{- x^{2} - e^{2 x + y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.3

组合 $- e^{2 x + y}$ 和 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x' = \frac{- x^{2} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.4

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- x^{2} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.5

要将 $- x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x' = \frac{- x^{2} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.6

组合 $- x^{2}$ 和 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x' = \frac{\frac{- x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.7

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{\frac{- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.8

从 $- x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.9

从 $- e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - (e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.10

从 $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - (e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) + x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.11

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.12

从 $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{\frac{- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.13

化简表达式。

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解题步骤 6.7.3.13.1

将 $- (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)$ 重写为 $- 1 (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)$ 。

$x' = \frac{\frac{- 1 (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x)}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.13.2

将负号移到分数的前面。

$x' = \frac{- \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}}}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.14

将分子乘以分母的倒数。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.15

从 $2 x y - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.7.3.15.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) - 2 y^{\frac{1}{2}} + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.15.2

从 $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{2 x + y}}$

解题步骤 6.7.3.15.3

从 $2 e^{2 x + y}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})}$

解题步骤 6.7.3.15.4

从 $2 (x y) + 2 (- y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})}$

解题步骤 6.7.3.15.5

从 $2 (x y - y^{\frac{1}{2}}) + 2 (e^{2 x + y})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

解题步骤 6.7.3.16

将 $\frac{1}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$ 乘以 $\frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y}) y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.7.3.17

将 $- \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y}) y^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$x' = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 y^{\frac{1}{2}} (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y} y^{\frac{1}{2}} - x}{2 y^{\frac{1}{2}} (x y - y^{\frac{1}{2}} + e^{2 x + y})}$

微积分学 示例

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