微积分学示例

$x = t {(3 t + 1)}^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(3 t + 1)}^{2})$

解题步骤 2

$x$ 对 $t$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(3 t + 1)}^{2}$ 重写为 $(3 t + 1) (3 t + 1)$ 。

$\frac{d}{d t} [t ((3 t + 1) (3 t + 1))]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 t + 1) (3 t + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d t} [t (3 t (3 t + 1) + 1 (3 t + 1))]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d t} [t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t + 1))]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d t} [t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d t} [t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $3 t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t + 3 t + 1 \cdot 1)]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t + 3 t + 1)]$

解题步骤 3.3.2

将 $3 t$ 和 $3 t$ 相加。

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 6 t + 1)]$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 9 t^{2} + 6 t + 1$ 。

$t \frac{d}{d t} [9 t^{2} + 6 t + 1] + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $9 t^{2} + 6 t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$t (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.2

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$t (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$t (18 t + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.5

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t (18 t + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t (18 t + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.7

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$t (18 t + 6 + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.8

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t (18 t + 6 + 0) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.9

将 $18 t + 6$ 和 $0$ 相加。

$t (18 t + 6) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t (18 t + 6) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.5.11

将 $9 t^{2} + 6 t + 1$ 乘以 $1$ 。

$t (18 t + 6) + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$t (18 t) + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2

合并项。

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解题步骤 3.6.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 (t^{1} t) + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 t^{1 + 1} + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$18 t^{2} + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2.5

将 $6$ 移到 $t$ 的左侧。

$18 t^{2} + 6 \cdot t + 9 t^{2} + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2.6

将 $18 t^{2}$ 和 $9 t^{2}$ 相加。

$27 t^{2} + 6 t + 6 t + 1$

解题步骤 3.6.2.7

将 $6 t$ 和 $6 t$ 相加。

$27 t^{2} + 12 t + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = 27 t^{2} + 12 t + 1$

解题步骤 5

使用 $\frac{d x}{d t}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d t} = 27 t^{2} + 12 t + 1$

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