微积分学示例

$r = \frac{4 e^{w}}{5 w}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d w} (r) = \frac{d}{d w} (\frac{4 e^{w}}{5 w})$

解题步骤 2

$r$ 对 $w$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $w$ 是常数，所以 $\frac{4 e^{w}}{5 w}$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$ 。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d w} [\frac{e^{w}}{w}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ 等于 $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ，其中 $f (w) = e^{w}$ 且 $g (w) = w$ 。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w \frac{d}{d w} [e^{w}] - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ 等于 $a^{w} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w} \cdot 1}{w^{2}}$

解题步骤 3.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $\frac{4}{5}$ 乘以 $\frac{w e^{w} - e^{w}}{w^{2}}$ 。

$\frac{4 (w e^{w} - e^{w})}{5 w^{2}}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{4 (w e^{w}) + 4 (- e^{w})}{5 w^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 w e^{w} - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$\frac{4 e^{w} w - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

解题步骤 3.5.4

从 $4 e^{w} w - 4 e^{w}$ 中分解出因数 $4 e^{w}$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

从 $4 e^{w} w$ 中分解出因数 $4 e^{w}$ 。

$\frac{4 e^{w} (w) - 4 e^{w}}{5 w^{2}}$

解题步骤 3.5.4.2

从 $- 4 e^{w}$ 中分解出因数 $4 e^{w}$ 。

$\frac{4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)}{5 w^{2}}$

解题步骤 3.5.4.3

从 $4 e^{w} (w) + 4 e^{w} (- 1)$ 中分解出因数 $4 e^{w}$ 。

$\frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d w}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d w} = \frac{4 e^{w} (w - 1)}{5 w^{2}}$

微积分学 示例

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