微积分学示例

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

解题步骤 2

$r$ 对 $s$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ 。

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $\frac{1}{3 s^{2}}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{s^{2}}$ 重写为 ${(s^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 等于 $f' (g (s)) g' (s)$ ，其中 $f (s) = s^{- 1}$ 且 $g (s) = s^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $s^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $s^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.5

将 ${(s^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.7

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.11

组合 $\frac{- 2}{3}$ 和 $s^{- 3}$ 。

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $s^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.2.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- \frac{5}{2}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $- \frac{5}{2 s}$ 对 $s$ 的导数是 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ 。

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{s}$ 重写为 $s^{- 1}$ 。

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

解题步骤 3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

解题步骤 3.3.6

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $s^{- 2}$ 。

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

解题步骤 3.3.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $s^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d s}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d s} = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

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