微积分学示例

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

解题步骤 2

$r$ 对 $s$ 的导数为 $r'$ 。

$r'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 s}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{s}$ 重写为 $s^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $s^{- 2}$ 。

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

解题步骤 3.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $s^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $- \frac{8}{5}$ 对于 $s$ 是常数，所以 $- \frac{8}{5 s^{4}}$ 对 $s$ 的导数是 $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{s^{4}}$ 重写为 ${(s^{4})}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 等于 $f' (g (s)) g' (s)$ ，其中 $f (s) = s^{- 1}$ 且 $g (s) = s^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $s^{4}$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $s^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(s^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

解题步骤 3.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

解题步骤 3.3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

解题步骤 3.3.7

通过指数相加将 $s^{- 8}$ 乘以 $s^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1

移动 $s^{3}$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

解题步骤 3.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

解题步骤 3.3.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

解题步骤 3.3.8

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

解题步骤 3.3.9

组合 $4$ 和 $\frac{8}{5}$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

解题步骤 3.3.10

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{32}{5}$ 和 $s^{- 5}$ 。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

解题步骤 3.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $s^{- 5}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d r}{d s}$ 替换 $r'$ 。

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

微积分学 示例

微积分学示例