微积分学示例

$y = \sin (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\sqrt{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\sqrt{x}) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (\sqrt{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\cos (\sqrt{x}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\cos (\sqrt{x}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9

组合 $\cos (\sqrt{x})$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\cos (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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