微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.3

乘以 $- \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.2

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.3

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.4

从 $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.5

使用勾股恒等式。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$- \csc^{2} (x)$

微积分学 示例

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