微积分学示例

$y = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ 且 $g (x) = \sqrt{x}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3] - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{\sqrt{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4 + 0) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} (2 x + 4) - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} (2 x) + \sqrt{x} \cdot 4 - (x^{2} + 4 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} (2 x) + \sqrt{x} \cdot 4 + (- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x} (2 x) + \sqrt{x} \cdot 4 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4

化简每一项。

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解题步骤 11.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 4 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{x}$ 的左侧。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \cdot \sqrt{x} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.3

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.3.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.3.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.3.3

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.3.4

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.6.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.6.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.6.3

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.6.4

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.8

组合 $x$ 和 $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{x \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.9

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.4.10.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.10.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.4.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.10.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.10.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.10.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.11

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.13

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.4.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 \sqrt{x} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5

合并项。

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解题步骤 11.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 4 \sqrt{x} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.7

要将 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.8

组合 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{4 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.11

从 $4 x^{\frac{3}{2}}$ 中减去 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 11.5.12

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 11.5.12.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.5.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.5.12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.5.12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.12.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.5.12.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

解题步骤 11.5.12.5

化简。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.5.13

将 $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 11.5.14

合并。

$\frac{2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \sqrt{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 11.5.15

运用分配律。

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (4 \sqrt{x}) + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 11.5.16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.16.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (4 \sqrt{x}) + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 11.5.16.2

重写表达式。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (4 \sqrt{x}) + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 11.5.17

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 11.5.18

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

解题步骤 11.5.19

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.5.20

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.5.21

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.5.22

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.5.23

约去公因数。

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解题步骤 11.5.23.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

解题步骤 11.5.23.2

约去公因数。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.5.23.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.5.24

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 8 \sqrt{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.6

重新排序项。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7

化简分子。

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解题步骤 11.7.1

要将 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3

化简分子。

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解题步骤 11.7.3.1

从 $3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 11.7.3.1.1

从 $3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.1.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.1.3

从 $3 (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.2

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.7.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{\frac{3 + 1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{\frac{4}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.2.4

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.3.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.4

要将 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.5

组合 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7

化简分子。

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解题步骤 11.7.7.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.7.7.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{- 4 x^{1} + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.2

化简 $- 4 x^{1}$ 。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 (x + 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.3

运用分配律。

$\frac{\frac{- 4 x + (3 x + 3 \cdot 1) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{- 4 x + (3 x + 3) (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 3) (x - 1)$ 。

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解题步骤 11.7.7.5.1

运用分配律。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x (x - 1) + 3 (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 (x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.5.3

运用分配律。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.7.7.6.1

化简每一项。

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解题步骤 11.7.7.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.7.7.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.6.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x^{2} - 3 x + 3 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.6.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x^{2} + 0 - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.6.3

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- 4 x + 3 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.7.7

重新排序项。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 \sqrt{x}}{2 x}$

解题步骤 11.7.8

要将 $8 \sqrt{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10

化简分子。

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解题步骤 11.7.10.1

乘以 $8 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.7.10.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 x^{\frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.7.10.1.5.1

约去公因数。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 x^{\frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.1.5.2

重写表达式。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 x^{1}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.2

化简。

$\frac{\frac{3 x^{2} - 4 x - 3 + 8 x}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.7.10.3

将 $- 4 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 11.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 11.9

乘以 $\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ 。

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解题步骤 11.9.1

将 $\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

解题步骤 11.9.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.9.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.9.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.9.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.9.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.9.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.9.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.9.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 11.10

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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