微积分学示例

$y = \frac{2}{2 x^{4} - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2$ 且 $g (x) = 2 x^{4} - 5$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \frac{d}{d x} [2] - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 5]}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x^{4} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3} + 0)}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $8 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x^{4} - 5) \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{4} \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

乘以 $2 x^{4} \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 x^{4} - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{4}$ 。

$\frac{0 - 5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 + 0 - 2 (8 x^{3})}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0 + 0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

合并 $0 + 0 - 16 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 - 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $0$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$\frac{- 16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 x^{3}}{{(2 x^{4} - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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