微积分学示例

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 6)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 3}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 3) (x + 6)$ 。

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.4

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.5.2

用 $3 x - 1$ 除以 $1$ 。

$3 x - 1 = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$3 x - 1 = \frac{A (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $(A) (x + 6)$ 除以 $1$ 。

$3 x - 1 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$3 x - 1 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.6.3

将 $6$ 移到 $A$ 的左侧。

$3 x - 1 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.6.4

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.4.1

约去公因数。

$3 x - 1 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

解题步骤 1.6.4.2

用 $(B) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$3 x - 1 = A x + 6 A + (B) (x - 3)$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 3$

解题步骤 1.6.6

将 $- 3$ 移到 $B$ 的左侧。

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x - 3 B$

解题步骤 1.7

移动 $6 A$ 。

$3 x - 1 = A x + B x + 6 A - 3 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$3 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = 6 A - 3 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $3 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 3$ 。

$A + B = 3$

$- 1 = 6 A - 3 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $3 - B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $3 - B$ 替换 $- 1 = 6 A - 3 B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 1 = 6 (3 - B) - 3 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $6 (3 - B) - 3 B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 1 = 6 \cdot 3 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$- 1 = 18 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

从 $- 6 B$ 中减去 $3 B$ 。

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3

在 $- 1 = 18 - 9 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $18 - 9 B = - 1$ 。

$18 - 9 B = - 1$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $18$ 。

$- 9 B = - 1 - 18$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- 1$ 中减去 $18$ 。

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3.3

将 $- 9 B = - 19$ 中的每一项除以 $- 9$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- 9 B = - 19$ 中的每一项都除以 $- 9$ 。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{19}{9}$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\frac{19}{9}$ 替换 $A = 3 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 3 - (\frac{19}{9})$

$B = \frac{19}{9}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $3 - (\frac{19}{9})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$A = 3 \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

解题步骤 3.4.2.1.2

组合 $3$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$A = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

解题步骤 3.4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$A = \frac{3 \cdot 9 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

解题步骤 3.4.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.1.4.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$A = \frac{27 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

解题步骤 3.4.2.1.4.2

从 $27$ 中减去 $19$ 。

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = \frac{8}{9}, B = \frac{19}{9}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{8}{9}}{x - 3} + \frac{\frac{19}{9}}{x + 6}$

微积分学 示例

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