微积分学示例

$(3 t - 1) {(6 t - 4)}^{- 1}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 3 t - 1$ 且 $g (t) = {(6 t - 4)}^{- 1}$ 。

$(3 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 4)}^{- 1}] + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 6 t - 4$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 t - 4$ 。

$(3 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(3 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 2.3

使用 $6 t - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 t - 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ 。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $3 t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.8

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.11

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 + 0)$

解题步骤 3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.12.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} \cdot 3$

解题步骤 3.12.2

将 $3$ 移到 ${(6 t - 4)}^{- 1}$ 的左侧。

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + 3 \cdot {(6 t - 4)}^{- 1}$

解题步骤 3.12.3

重新排序项。

$- 6 {(6 t - 4)}^{- 2} (3 t - 1) + 3 {(6 t - 4)}^{- 1}$

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