微积分学示例

$(0.1 t + 1) \ln (\sqrt{t})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [(0.1 t + 1) \ln (t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 0.1 t + 1$ 且 $g (t) = \ln (t^{\frac{1}{2}})$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{2}})] + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$(0.1 t + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 3.3

使用 $t^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 11

将 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 13

化简分母。

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解题步骤 13.1

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 13.1.1

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 13.1.3

在公分母上合并分子。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1 + 1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 13.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{2}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 13.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{1}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 13.2

化简 $2 t^{1}$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

解题步骤 14

根据加法法则， $0.1 t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 15

因为 $0.1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.1 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.1 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 17

将 $0.1$ 乘以 $1$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + \frac{d}{d t} [1])$

解题步骤 18

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + 0)$

解题步骤 19

化简表达式。

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解题步骤 19.1

将 $0.1$ 和 $0$ 相加。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \cdot 0.1$

解题步骤 19.2

将 $0.1$ 移到 $\ln (t^{\frac{1}{2}})$ 的左侧。

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + 0.1 \cdot \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$0.1 t \frac{1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.2

合并项。

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解题步骤 20.2.1

组合 $0.1$ 和 $\frac{1}{2 t}$ 。

$t \frac{0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.2.2

组合 $t$ 和 $\frac{0.1}{2 t}$ 。

$\frac{t \cdot 0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.2.3

将 $0.1$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{0.1 \cdot t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.2.4

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.4.1

约去公因数。

$\frac{0.1 t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.2.4.2

重写表达式。

$\frac{0.1}{2} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.2.5

将 $\frac{1}{2 t}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0.1}{2} + \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20.3

重新排序项。

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + \frac{0.1}{2}$

解题步骤 20.4

用 $0.1$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + 0.05$

微积分学 示例

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