微积分学示例

$y = (r^{2} - 7 r) e^{r}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = r^{2} - 7 r$ 且 $g (r) = e^{r}$ 。

$(r^{2} - 7 r) \frac{d}{d r} [e^{r}] + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 7 r]$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ 等于 $a^{r} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(r^{2} - 7 r) e^{r} + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 7 r]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $r^{2} - 7 r$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 7 r]$ 。

$(r^{2} - 7 r) e^{r} + e^{r} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 7 r])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(r^{2} - 7 r) e^{r} + e^{r} (2 r + \frac{d}{d r} [- 7 r])$

解题步骤 3.3

因为 $- 7$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- 7 r$ 对 $r$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$(r^{2} - 7 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 7 \frac{d}{d r} [r])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(r^{2} - 7 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 7 \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$(r^{2} - 7 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 7)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$r^{2} e^{r} - 7 r e^{r} + e^{r} (2 r - 7)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$r^{2} e^{r} - 7 r e^{r} + e^{r} (2 r) + e^{r} \cdot - 7$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 7$ 移到 $e^{r}$ 的左侧。

$r^{2} e^{r} - 7 r e^{r} + e^{r} (2 r) - 7 \cdot e^{r}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 7 r e^{r}$ 和 $e^{r} (2 r)$ 相加。

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解题步骤 4.3.2.1

移动 $e^{r}$ 。

$r^{2} e^{r} - 7 r e^{r} + 2 r e^{r} - 7 e^{r}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 7 r e^{r}$ 和 $2 r e^{r}$ 相加。

$r^{2} e^{r} - 5 r e^{r} - 7 e^{r}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$e^{r} r^{2} - 5 e^{r} r - 7 e^{r}$

解题步骤 4.5

将 $e^{r} r^{2} - 5 e^{r} r - 7 e^{r}$ 中的因式重新排序。

$r^{2} e^{r} - 5 r e^{r} - 7 e^{r}$

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