微积分学示例

$\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ 且 $g (q) = \sin (q)$ 。

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sin (q) + \cos (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ 。

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 3

$\sin (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\cos (q)$ 。

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 4

$\cos (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \sin (q)$ 。

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 5

$\sin (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\cos (q)$ 。

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

合并 $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.4.1.1

从 $\sin (q) \cos (q)$ 中减去 $\sin (q) \cos (q)$ 。

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $\sin (q) (- \sin (q))$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.2

乘以 $- \sin (q) \sin (q)$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1

对 $\sin (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.2.2

对 $\sin (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.3

乘以 $- \cos (q) \cos (q)$ 。

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解题步骤 6.4.2.3.1

对 $\cos (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.3.2

对 $\cos (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.3

从 $- \sin^{2} (q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.4

从 $- \cos^{2} (q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.5

从 $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.6

使用勾股恒等式。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.5

合并项。

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解题步骤 6.5.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

解题步骤 6.5.2

将 $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ 转换成 $\csc^{2} (q)$ 。

$- \csc^{2} (q)$

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