微积分学示例

$f (x) = x^{8} \sqrt{5 - 3 x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 - 3 x}$ 重写成 ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 - 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 - 3 x$ 。

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{8} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.3

使用 $5 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{8} (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{8} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{8}$ 。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 9

根据加法法则， $5 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 10

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 12

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 13.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (8 x^{7})$

解题步骤 17

重新排序。

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解题步骤 17.1

将 $8$ 移到 ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} x^{7}$

解题步骤 17.2

移动 ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 18

要将 $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

组合 $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 x^{8} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

通过指数相加将 ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 22.1

移动 ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} ({(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

化简 $16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}$ 。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x + 5)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2

化简分子。

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解题步骤 24.2.1

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{7} x + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.2

通过指数相加将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 24.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x \cdot x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 24.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x^{1} x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{1 + 7} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.2.3

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.3

将 $16$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.1.4

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.2.2

从 $- 3 x^{8}$ 中减去 $48 x^{8}$ 。

$\frac{- 51 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.3

从 $- 51 x^{8} + 80 x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

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解题步骤 24.3.1

从 $- 51 x^{8}$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

$\frac{x^{7} (- 51 x) + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.3.2

从 $80 x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

$\frac{x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.3.3

从 $x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

$\frac{x^{7} (- 51 x + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.4

从 $- 51 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{7} (- (51 x) + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.5

将 $80$ 重写为 $- 1 (- 80)$ 。

$\frac{x^{7} (- (51 x) - 1 (- 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.6

从 $- (51 x) - 1 (- 80)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x^{7} (- (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.7

将 $- (51 x - 80)$ 重写为 $- 1 (51 x - 80)$ 。

$\frac{x^{7} (- 1 (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{7} (51 x - 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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