微积分学示例

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.3

乘以 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.4.2

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.4.3

约去公因数。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.4.4

重写表达式。

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2.6

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.7

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.3

将 $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 相加。

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