微积分学示例

$h (x) = \frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} - 2 e^{x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 e^{x}] - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$ 。

$\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x \cdot x + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{6 (x \cdot x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 x^{2} + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.3.2

从 $6 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

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