微积分学示例

$f (x) = \frac{\sec (x)}{2 - \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 - \cos (x)$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

乘。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + 1 \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(2 \sec (x) - \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4

乘以 $\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

将 $\frac{2}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 5.3.1.5.1

添加圆括号。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.2

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\sec (x) \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.3

将 $- \cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.4

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.7

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.8

将 $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 重写为 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x) \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.10

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.11

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $- \sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.2

分离分数。

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.4

分离分数。

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\frac{2}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.6

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.7

分离分数。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.9

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (2 \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.3.5.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

从 $2 \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

从 $- 2 \tan (x)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)$ 中分解出因数 $2 \tan (x)$ 。

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 中分解出因数 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.6

将 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 。

$\frac{2 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\cos (x) {(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.7

分离分数。

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

解题步骤 5.9

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

解题步骤 5.10

组合 $\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.11

将 $\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

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