微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.6

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.6.3

将负号移到分数的前面。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.13

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.14.2

在公分母上合并分子。

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.14.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.14.4

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.16

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.17

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 2.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 (- \sin (x))$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 3 \sin (x)$

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