微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} e^{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.2

重新排序项。

$e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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