微积分学示例

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ 。

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{7}] + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.4.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

解题步骤 3.6

将 $8$ 移到 ${(x - 1)}^{7}$ 的左侧。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot {(x - 1)}^{7} x^{7}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

解题步骤 4.1.2

从 $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

解题步骤 4.1.3

从 $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ 中分解出因数 $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ 。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

解题步骤 4.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

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