微积分学示例

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{x^{2}} + 1$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{x^{2}} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{x^{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

解题步骤 4.3

合并分数。

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解题步骤 4.3.1

将 $e^{x^{2}} (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

解题步骤 4.3.2

组合 $e^{x^{2}}$ 和 $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ 。

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

解题步骤 4.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ 。

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

解题步骤 4.3.4

组合 $\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $2 e^{x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

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