微积分学示例

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $10 y y' - 32 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$10 y y' - 32 x^{3}$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $32 x^{3}$ 。

$10 y y' = 32 x^{3}$

解题步骤 5.2

将 $10 y y' = 32 x^{3}$ 中的每一项除以 $10 y$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $10 y y' = 32 x^{3}$ 中的每一项都除以 $10 y$ 。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $32$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $32 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $10 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

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