微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} - 1$ 。

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 3.6

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x$ 。

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 5

将 $4$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

解题步骤 7

将 $4$ 移到 $2 x^{2} - 1$ 的左侧。

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4

合并项。

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解题步骤 8.4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 8.4.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4.4

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

解题步骤 8.4.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

解题步骤 8.4.6

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

解题步骤 8.4.7

将 $12 x^{5}$ 和 $24 x^{5}$ 相加。

$36 x^{5} - 12 x^{3}$

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