微积分学示例

$f (x) = \frac{(x + 5) (x^{2} + 5)}{x - 8}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 5) (x^{2} + 5)$ 且 $g (x) = x - 8$ 。

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [(x + 5) (x^{2} + 5)] - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 移到 $x + 5$ 的左侧。

$\frac{(x - 8) (2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + 0)) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) \cdot 1) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $x^{2} + 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.11

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(x - 8) ((2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{(x - 8) (2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 10 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5)$ 。

$\frac{x (3 x^{2}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.4.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.5

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 \cdot x - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.6

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.7

将 $10$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.4.8

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.5

从 $10 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} + 5 x - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.6

从 $5 x$ 中减去 $80 x$ 。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.7

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 5) (x^{2} + 5)$ 。

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解题步骤 4.4.1.8.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x (x^{2} + 5) - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.8.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.9.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1.9.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.9.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{2 + 1} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.9.3

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $3 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

从 $- 14 x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.4

从 $- 75 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 40 - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 4.4.5

从 $- 40$ 中减去 $25$ 。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 65}{{(x - 8)}^{2}}$

微积分学 示例

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