微积分学示例

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 6 x + 5$ 且 $g (x) = x^{3} - 2$ 。

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 2.4.2

将 $3$ 移到 $6 x + 5$ 的左侧。

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $6 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 2.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

解题步骤 2.10.2

将 $6$ 移到 $x^{3} - 2$ 的左侧。

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

解题步骤 3.4.4

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

解题步骤 3.4.5

将 $18 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$

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