微积分学示例

$x^{2} (120 - x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 120 - x$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [120 - x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $120 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \cdot - 1 + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- 1 \cdot x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$- x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- x^{2} + (120 - x) (2 x)$

解题步骤 2.8

将 $2$ 移到 $120 - x$ 的左侧。

$- x^{2} + 2 \cdot (120 - x) x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$- x^{2} + (2 \cdot 120 + 2 (- x)) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$- x^{2} + 2 \cdot 120 x + 2 (- x) x$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $2$ 乘以 $120$ 。

$- x^{2} + 240 x + 2 (- x) x$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- x^{2} + 240 x - 2 x \cdot x$

解题步骤 3.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x)$

解题步骤 3.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x^{1})$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{2}$

解题步骤 3.3.7

从 $- x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- 3 x^{2} + 240 x$

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