微积分学示例

$x^{2} \arctan (2 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \arctan (2 x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$x^{2} (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6

将 $\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (2 x)$

解题步骤 4

要将 $\arctan (2 x) (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{3}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 2 \arctan (2 x) x^{3} \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

微积分学 示例

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