微积分学示例

$x^{5} - 2 e^{6 x}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{5} - 2 e^{6 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{6 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{6 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ 。

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x$ 。

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 x^{4} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} (6 \cdot 1))$

解题步骤 2.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{4} - 2 (e^{6 x} \cdot 6)$

解题步骤 2.6

将 $6$ 移到 $e^{6 x}$ 的左侧。

$5 x^{4} - 2 (6 \cdot e^{6 x})$

解题步骤 2.7

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$5 x^{4} - 12 e^{6 x}$

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