微积分学示例

$x^{5} \sin^{2} (3 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \sin^{2} (3 x)$ 。

$x^{5} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (3 x)$ 。

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{5} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{5} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) (5 x^{4})$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$6 x^{5} \cos (3 x) \sin (3 x) + 5 x^{4} \sin^{2} (3 x)$

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